Правила дифференцирования. Теорема 4.2.Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке х, то их сумма, разность, произведение

Теорема 4.2. Если функции u (x) и v (x) дифференцируемы в точке х, то их сумма, разность, произведение, частное(при условии v (x) ¹ 0) также дифференцируемы в точке х, и справедливы равенства:

1) [ u (x) ± v (x)]' = u '(x) ± v '(x).

2) [ u (x) v (x)]' = u '(x) v (x) + u (x) v '(x).

3) = (v (x) ¹ 0)

Доказательство:

Докажем, например формулу 2). Обозначим у = u (x) v (x). Тогда D у = u (x +D х) v (x +D х) - u (x) v (x) = [ u (x + D х) - u (x)] v (x + D х) + u (x)[ v (x + D х) - v (x)] = D u × v (x + D х) + u (x) D v.

Поэтому = v (x +D х) + u (x) Отсюда получаем:

¯ ¯ ¯ ¯ при D х ® 0

u '(x) v (x) u (x) v '(x).

= u '(x) v (x) + u (x) v '(x), то есть y ' = (uv)' = u ' v + uv '. Формула 2) доказана.

Остальные формулы докажите самостоятельно.

Следствие: Если с = const, то (c (y (x)))' = cy '(x).

Примеры:

1)(tg x)' = = = = .

Итак, (tg x)' = .