Теорема Достаточное условие выпуклости

Если функция ¦(x) имеет на промежутке Х вторую производную и ¦¢ (x) ³ 0 (resp. ¦¢(x)¢£0) на C, то график функции имеет на выпуклость, направленную вниз (вверх).

Док-во: Рассмотрим случай ¦¢ (x) ³ 0 для " x ÎC

¦(х)

M T

Y

y

a с х в

пусть т. с – произвольная точка, принадлежащая Х. Требуется доказать график функции ¦(х) лежит не ниже касательной, проходящей через т. М(с; ¦ (с)).

и прологарифмируем его по основанию e: здесь так как функция ln(u) непрерывна в точке u=e, то переставляя местами знак предела и знак непрерывной функции получим: или

Теорема 7.4 (Кантора). Непрерывная на сегменте функция равномерно непрерывна на этом сегменте.

Доказательство.

Пусть функция f (x) непрерывна на сегменте [a, b]. Допустим, что она не является равномерно непрерывной на этом сегменте. Тогда $ e > 0 - такое, что " d > 0 $ x ' и x '' Î [a, b], ½ x ''- x '½ < d, но ½ f (x '') - f (x ')½ ³ e. Возьмем какую-нибудь последовательность {d_n} ® +0 (d_n > 0).

В силу нашего предположения, " d_n $ x _n' и x _n'' Î [a, b],

½ x _n''- x _n'½ < d, (1)

½ f (x _n'') - f (x _n')½ ³ e. (2)

Рассмотрим последовательность { x _n'}. Она ограничена и, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Пусть ® с Î [a, b]. Потому f (x) непрерывна в точке c. В силу (1) подпоследовательность ® с, а так как f (x) непрерывна в точке c, то ® f (c) - f (c) = 0. С другой стороны, в силу неравенства (2) ³ e > 0. Полученное доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, f (x) равномерно непрерывна на [a, b].

Теорема доказана.

Точка М₀ (; ) называется точкой перегиба графика функции у=¦(х), если в т. график имеет касательную Т и существует такая окрестность т . в которой слева и справа от т. график имеет разные направления выпуклости т.е. при переходе через т. М₀, график переходит с одной стороны касательной Т на другую.

М₀

М₀