Теорема 1 достаточный признак экстремума

Если в некоторой окрестности X критической точкой выполняется условие при и при (A) то в т. функция имеет max. Если же выполняется условие при и при (B) то в т. функция имеет min.

Пусть, например, в окрестности X т. выполняется условие (А), тогда в этой окрестности $ отр. x₁ x₀ x₂ в которых функция непрерывна, а внутри ее производная сохраняет соответственно положительный и отрицательный знаки, следовательно функция f( x ) ­ на отрезке [x₁;x₀] и ¯ на [x₀;x₂] поэтому значение оказывается наибольшим на [x₁;x₂] т.е. в т. функция f( x ) имеет max. Аналогично рассматривается min.

Примечание:

Если f’( x ) при переходе через т. x₀ сохраняет постоянный знак, то в некоторой окрестности т. x₀ функция или возрастает или убывает и поэтому в т. x₀

Теорема 2-ой достаточный признак экстремума:

Если функция ¦¢ (x₀ ) = 0, т.е. x₀ - стационарная точка функции ¦(x)и ¦¢¢(x₀)<0, то в точке x₀ функция ¦(x) имеет max; если же ¦¢¢(x₀)>0, то в точке x₀ функция ¦(x) имеет min.

Запишем, для функции ¦(x) в окрестности точки x₀ локальную формулу Тейлора с n=2:

+ +

В силу того, что ¦¢ (x₀ ) = 0 по условию теоремы и точку х можно брать как угодно близко к точке х₀ из предыдущего равенства получили приближенное равенство:

Видим, что знак приращения функции в точке х₀ совпадает со знаком ее 2-ой производной в этой точке, что и завершает доказательство теоремы.

+ -