Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Теорема о предельном переходе в неравенстве



Если в некоторой окрестности точки (кроме быть может самой этой точки) выполняется условие и данные функции имеют в точке пределы, то .

На языке и .

Введем функцию . Ясно, что в окрестности т. . Тогда по теореме о сохранении функции значении своего предела имеем , но

Следствие.

Из теоремы вытекает, что если в некоторой окрестности (кроме возможно самой этой точки) выполняется условие (resp ), то (resp , в предположении что предел $).

(Это утверждение иногда называют теоремой о пределе знако-постоянной функции Теорема 7.7. (Ролля)

Пусть выполнены следующие три условия:

1) f (x) непрерывна на сегменте [ a, b ],

2) f (x) дифференцируема в интервале (a, b),

3) f’ (a) = f’ (b).

Тогда $ точка c Î (a, b): f’ (c) = 0.

Доказательство.

В силу второй теоремы Вейерштрасса f (x) имеет на сегменте [ a, b ] максимальное и минимальное значения.

M = f (x), m = f (x).

Возможны два случая:

1) M = m => f (x) = M = m = const. " точки c Î [ a, b ]: f’ (c) = 0.

2) M > m. Так как f’ (a) = f’ (b), то по крайней мере одно из своих значений (M или m) f (x) принимает во внутренней точке c сегмента [ a, b ].

(здесь рисунок)

По теореме Ферма f’ (c) = 0.

Теорема Ролля доказана.





Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 332 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...