 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Теорема о предельном переходе в неравенстве
|
|
Если в некоторой окрестности точки 
(кроме быть может самой этой точки) выполняется условие 
и данные функции имеют в точке пределы, то 
.
На языке 
и 
.
Введем функцию 
. Ясно, что 
в окрестности т. . Тогда по теореме о сохранении функции значении своего предела имеем 
, но 
Следствие.
Из теоремы вытекает, что если в некоторой окрестности (кроме возможно самой этой точки) выполняется условие 
(resp 
), то 
(resp 
, в предположении что предел $).
(Это утверждение иногда называют теоремой о пределе знако-постоянной функции Теорема 7.7. (Ролля)
Пусть выполнены следующие три условия:
1) f (x) непрерывна на сегменте [ a, b ],
2) f (x) дифференцируема в интервале (a, b),
3) f’ (a) = f’ (b).
Тогда $ точка c Î (a, b): f’ (c) = 0.
Доказательство.
В силу второй теоремы Вейерштрасса f (x) имеет на сегменте [ a, b ] максимальное и минимальное значения.
M = 
f (x), m = 
f (x).
Возможны два случая:
1) M = m => f (x) = M = m = const. " точки c Î [ a, b ]: f’ (c) = 0.
2) M > m. Так как f’ (a) = f’ (b), то по крайней мере одно из своих значений (M или m) f (x) принимает во внутренней точке c сегмента [ a, b ].
(здесь рисунок)
По теореме Ферма f’ (c) = 0.
Теорема Ролля доказана.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 355 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
