Следствие

= F (j (t)) + С.

F (j (t)) + С = = .

Таким образом, = -- формула замены переменной в неопределенном интеграле.

Примеры:

1) = [ x = ,dx = dt ] = = (- cos t + C) = cos ax + C.

2) , (a > 0)

Подынтегральная функция определена для 0 £ x £ a.

x = a sin² t (a sin² t º j (t)), 0 £ t £ , dx = 2 a sin t cos tdt

sin t = , t = arcsin , cos t = .

= 2 a sin t cos tdt = 2 a = 2 a =

= a (t - 1/2sin2 t) + C = a (t -sin t cos t) + C = a arcsin - + C.

первая теорема Вейерштрасса. Непрерывная на сегменте функция ограничена на этом сегменте.

Доказательство. (здесь рисунок)

Допустим, что f (x) не ограничена на этом сегменте, то есть " натурального n $ x _n Î [ a, b ]:

½ f (x _n) ½> n. (1)

Рассмотрим последовательность { x _n}. Она ограничена и, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Пусть ® c. Так как все Î [ a, b ], то и c Î [ a, b ], значит, f (x) непрерывна в точке c (по условию), поэтому ® f (с). С другой стороны, в силу (1) > k _n, и значит, последовательность - бесконечно большая, то есть, эта последовательность расходится. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, f (x) ограничена на [ a, b ]. Теорема доказана.

//Замечание. Для интервала теорема неверна.

Например, f (x) = на интервале 0 < x < 1 непрерывна, но не является ограниченной на этом интервале. Вопрос: в каком месте не пройдет доказательство теоремы 7.2, если рассматривать интервал, а не сегмент.

Пусть f (x) огр. на множестве X. Тогда она имеет на этом множестве точные грани:

f (x) = M, f (x) = m.

Если в каких-то точках f (x) принимает значения M и m, то говорят, что функция достигает на множестве X своих точных граней.

Пример. y = , X = {0 < x £ 1}. (здесь рисунок)

f (x) = 1, f (x) = 0, но f (x) не достигает своей точной нижней грани. Пусть теперь f (x) непрерывна на [ a, b ], тогда по теореме 7.2 она ограничена на этом сегменте и, следовательно, имеет точные грани.

f (x) = M, f (x) = m.