Производные высших порядков

Пусть функция y = f(x) имеет призводную f'(x) на некотором промежутке, тогда производная f'(x) сама является функцией, заданной на этом промежутке. Пусть f'(x) имеет производную в некоторой точке х из этого промежутка, тогда эта производная называется второрй производной (производной более высокого порядка) функции y = f(x) в точке х. Обозначение: (f'(x))' = f''(x), y''(x), (x). Производные более высоких порядков вводятся по индукции: третья производная - производная от второй, " n ³ 2 y⁽ⁿ⁾(x) = [y^(n-1)(x)]'.

1)y = x^a. y' = a x^a. y'' = a(a - 1)x^a-2.…

y⁽ⁿ⁾ = a(a - 1) … a(a - n + 1)x^a-n.

Отметим, что если a - m -натуральное число, то (y^m)^(m) = m(m - 1) … 1 = m!. (y^m)⁽ⁿ⁾ = 0 " n < m.

2) y =a^x. y' = x^aln a, y'' =a^x(ln a)², y⁽ⁿ⁾ = a^x(ln a)ⁿ. В частности, (e^x)⁽ⁿ⁾ = e^x.

3) y = six x, y' = cos x = sin(x + ), y'' = cos(x + ) = sin(x +2 )…

y⁽ⁿ⁾ = (sin x)⁽ⁿ⁾ = sin(x +n )

4) (cos x)⁽ⁿ⁾ = cos(x +n ) - докажите сами.

Две формулы, для производных n - го порядка.

1)[u(x) ± v(x)]⁽ⁿ⁾ = [(u + v)']' = [u' + v']' = (u')' + (v')' = u⁽²⁾ + v⁽²⁾.

2) uv⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾v + u^(n-1)v' + u^(n-2)v'' + … + u^(n-k)v^(k) + uv⁽ⁿ⁾ = u^(n-k)v^(k),(формула Лейбница), Где = , 0! = 1, v⁽⁰⁾ = v. (u + v)⁽ⁿ⁾ = u^(n-k)v^(k) - бином Ньютона. Как и эта формула, формула Лейбница доказывается по индукции(докажите сами).