Теорема 6.5. Определения предела функции в точке a по Гейне и по Коши эквивалентны

Доказательство.

1. Пусть f (x) = b по Коши. (1)

Требуется доказать, что " { x _n} ® a (x _n ¹ a) соответствующая последовательность { f (x _n)} ® b, то есть " e > 0 $ N, " n > N: ½ f (x _n) - b ½ < e. (2). Рассмотрим произвольную последовательность { x _n} ® a (x _n ¹ a). Возьмем e > 0. В силу условия (1) $ d > 0,

" x Î {0 <½ x - a ½< d}: ½ f (x) - b ½ < e. (3). В свою очередь, так как { x _n} ® a (x _n ¹ a), то для указанного d $ N, " n > N: 0 <½ x _n - a ½ < d (4). Из (4) и (3) следует, что " n > N: ½ f (x _n) - b ½ < e, то есть выполнено условие (2), что и требовалось доказать.

2. Пусть f (x) = b по Гейне. (5)

Предположим, что f (x) ¹ b по Коши. Тогда $ e > 0 такое, что " d > 0 $ x Î {0 <½ x - a ½< d}: ½ f (x) - b ½³ e. Возьмем какую-нибудь последовательность {d_n} ® +0 (d_n > 0). Например, можно взять d_n = . Согласно сказанному выше,

" d_n $ x _n Î : ½ f (x _n) - b ½³ e. (7)

Из (6) следует, что { x _n} ® a (x _n ¹ a). Отсюда в силу условия (5) следует, что { f (x _n)} ® b, и поэтому = 0. С другой стороны, в силу неравенства (7) ³ e > 0. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, f (x) = b по Коши.

Теорема доказана.