Верхний и нижний пределы последовательности

Всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.

Определение. Наибольшая (наименьшая) из предельных точек ограниченной последовательности { x _n} наз. ёе верхним (нижним) пределом и обозначается: .

Если последовательность { x _n} сходится, то она имеет ровно одну предельную точку (ее предел), и в этом случае = = .

Если ограниченная последовательность имеет конечное число предельных точек, то среди них, очевидно, есть наибольшая и наименьшая, то есть в этом случае последовательность имеет верхний и нижний пределы. Если же число предельных точек бесконечно, то существование верхнего и нижнего пределов не является очевидным.

Теорема 6.3. Любая ограниченная последовательность имеет верхний и нижний пределы.

Доказательство: Пусть { x _n} - ограниченная поледовательность. Обозначим через { a } множество всех предельных точек этой последовательности. Так как это множество ограничено и непусто, то оно имеет точные грани. Обозначим = Sup { a }, = inf { a }.

Достаточно доказать, что Î { a }, Î { a }. Проведем доказательство для .

Рассмотрим произвольную e-окрестность точки и, кроме того, рассмотрим -окрестность точки .

По определению точной верхней грани, существует точка a Î { a }: a Î { -окрестности точки a }, а по определению 2 предельной точки в -окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности { x _n}. Но { -окрестность точки a } Ì {e-окрестности точки }, тем самым, в e-окрестности точки содержится бесконечно много членов последовательности { x _n}, а это и означает, что - предельная точка последовательности { x _n}, то есть Î { a }.