Классификация точек разрыва. Точка а называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если $ f(x), но

1)Устранимый разрыв.

Точка а называется точкой устранимого разрыва функции f (x), если $ f (x), но

f (x) ¹ f (a), либо в точке а функция f (x) вообще не определена.

Пример:

f (x) = . Будет доказано, что = 1, но в точке х = 0 функция не определена, тем самым х = 0 -точка устранимого разрыва этой функции.

Если положить f (x) = , то f (x) станет непрерывной в точке х = 0, то есть разрыв будет устранён.

2) Разрыв первого рода.

Точка а называется точкой разрыва первого рода функции f (x), если $ f (x) и f (x), но f (x) ¹ f (x).

Пример:

f (x) = [ x ]

x = n (целое) - точки разрыва первого рода этой функции.

3) Разрыв второго рода.

Точка а называется точкой разрыва второго рода функции f (x), если в этой точке не существует хотя бы один из односторонних пределов.

Примеры:

1) f (x) = , х = 0 - точка разрыва второго рода, так как f (+0) = +¥, f (-0) = -¥.

2) Функция Дирихле D (x)-любая точка является точкой разрыва второго рода.

Функция f (x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

В частности, f (x) непрерывна на сегменте [ a, b ] (a < b), если она непрерывна в каждой внутренней точке сегмента, непрерывна в точке а справа и в точке b слева.

Пример:

f (x) = непрерывна на любом сегменте, в точках которого (х) не обращается в нуль.