Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
(1 + х)1/ х = е. (это неопределённость типа 1¥).
Доказательство:
По определению, е = .
доказательство.
Введём функцию f (x) = (x ³ 1).
При n £ x < n + 1: f (x) = , поэтому f (x) = e.
Воспользуемся неравенствами: [ x ] £ x < [ x +1] = [ x ] + 1. Отсюда при x ³ 1 имеем:
< £ а, следовательно, 1 + < 1+ £ 1 + .
Поэтому
£ £ или
.
Отсюда следует, что = е.
Положим у = . Тогда y ® +0, если х ® +¥ и мы получаем,
что (1 + у)1/ у = е или
(1 + х)1/ х = е. (1)
Рассмотрим теперь (1 + х)1/ х . Положим у = - х. Тогда y ® +0, если х ® -0.
(1 + х)1/ х = (1 - у)-1/ у = = .
Положим = z. Тогда z ® +0, если y ® +0 и y = , = +1.
Таким образом, (1 + х)1/ х = =(1 + z)1/ z +1. Если х ® -0, то z ® +0, поэтому
(1 + z)1/ z +1= ® e.
Итак, (1 + х)1/ х = е. (2)
Из (1) и (2) следует, что (1 + х)1/ х = е.
Теорема доказана.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 216 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!