Критерий Коши

Для того, чтобы функция имела предел в точке a, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла в этой точке условию Коши (для " e > 0 $ d > 0, " x ' и x '', 0 <½ x ' - a ½ < d, 0 <½ x ''- a ½ < d:½ f (x ') - f (x '')½ < e

Доказательство:

1. Необходимость. Дано: $ f (x) = b. Требуется доказать: f (x) удовлетворяет в точке a условию Коши. Зададим произвольное e > 0. Согласно определению предела функции по Коши,

$ d > 0, " x ' Î {0 <½ x ' - a ½ < d}, ½ f (x ') - b ½ < , и

$ d > 0, " x '' Î {0 <½ x '' - a ½ < d}, ½ f (x '') - b ½ < .

Отсюда следует, что " x ' Î {0 <½ x ' - a ½ < d} и " x '' Î {0 <½ x '' - a ½ < d}: ½ f ( x ') - f ( x '')½ =

= ½(f (x ') - b) - (f (x '') - b)½£ + < e. А это и означает, что f (x) удовлетворяет в точке

условию Коши.

Необходимость доказана.

2. Достаточность. Дано: f (x) удовлетворяет в точке a условию Коши. Требуется доказать: $ f (x). Согласно определению предела функции по Гейне, нужно доказать, что " { x _n} ® a (x _n ¹ a) { f (x _n)} сход., причем сходится к одному и тому же числу для всех { x _n} ® a (x _n ¹ a). Рассмотрим произвольную последовательность { x _n} ® a (x _n ¹ a). Докажем сначала, что последовательность { f (x _n)} - фундаментальная. Зададим произвольное e > 0. Согласно условию (1), $ d > 0, " x ' и x '', 0 <½ x ' - a ½ < d, 0 <½ x ''- a ½ < d: ½ f (x ') - f (x '')½ < e. (2). В свою очередь, так как { x _n} ® a и x _n ¹ a, то $ N, " n > N: 0 < ½ x _n - a ½< d, " m > N: 0 < ½ x _m - a ½< d. (3). Из (2) и (3) следует, что " n > N и " m > N: ½ f (x _n) - f (x_m)½ < e. А это и означает по определению, что последовательность { f (x _n)} - фундаментальная. Следовательно, она сходится. Итак, мы доказали, что " { x _n} ® a (x _n ¹ a): { f (x _n)} сходится. Остается доказать, что для всех таких последовательностей { x _n}: { f (x _n)} сходится к одному и тому же числу. Пусть для { x _n} ® a (x _n ¹ a): { f (x _n)} ® b, а для { x _n'} ® a (x _n' ¹ a): { f (x _n')} ® b '. Нужно доказать, что b ' = b. Составим посл. { x _n''} = x ₁, x ₁', x ₂, x ₂', …, x _n, x _n'', …

{ x _n''} ® a (x _n'' ¹ a).

Согласно доказанному, { f (x _n'')} ® b '', но { f (x _n)} и { f (x _n')} - подпоследовательности последовательности { f (x _n'')}, следовательно, эти поледовательности сходятся к b '', а это и означает, что b = b ' = b '', что и требовалось доказать.

Следствие (прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение) (2 т.Коши)

Пусть функция f (x) непрерывна на [ a, b ], f (а) = A, f (b) = B А≠В. Тогда " С Î[ A, B ] $ c Î [ a, b ]: f (c) = C.

Доказательство.

Рассмотрим функцию g (x) = f (x) - C. Пусть, для определённости, A < C < B. Тогда

g (a) = f (a) - С = A - C < 0, g (b) = f (b) - C = B - C > 0. Кроме того, g (x) непрерывна на сегменте

[ a, b ]. Следовательно, по теореме «Если f (x) непрерывна на [ a, b ] и f (а) и f (b) – разных знаков, то $ c Î [ a, b ]: f (c) = 0», то c Î [ a, b ]: g (c) = 0, то есть f (c) - C = 0 Þ f (c) = C, что и требовалось доказать.

Следствие:

Если F(x) непрерывна на промежутке Х то ее значение сами сплошь заполняют промежуток Х=(inff(x), supf(x)).

Доказательство: Пусть м=инфинум М=супремум возьмем " у Î(м, М). Тогда $ х1 и х2: м≤f(x1)<y<f(x2) ≤M

По 2 теореме Коши: $ х:f(x)=у, то есть все значения из (м,М) явл значениями f(x).

Определение: Последовательность { x _n} называется бесконечно малой, если " ε> 0 $ N ε: при " n > N ε выполняется: | x _n| < ε.