Определение непрерывности, точки разрыва функции

Определение 1:

Пусть f (x) определена в некоторой окрестности точки а. f (x) называется непрерывной в точке а если f (x) = f (а)

Примеры:

f (x) = sin x непрерывна в точке х =0, так как sin x = 0, и sin 0 = 0, то есть sin x = sin 0.

Рациональная функция f (x) = непрерывна в любой точке а, в которой (а) ¹ 0,

так как было доказано, что = ( (а) ¹ 0).

Замечаение:

Так как х = а, то условие непрерывности функции можно записать в виде

f (x) = f ( x).

Таким образом, непрерывность f (x) в точке а означает, что символы и f можно менять местами.

Определение 2.

f (x) называетмя непрерывной в точке а, если " e > 0 $ d > 0: | f (x) - f (а) | < e при | х - а | < d.

Пусть f (x) непрерывна в точке а и f (а) > 0. Возьмём e = f (a). По определнию 2

$ d > 0: | f (x) - f (a) | < f (а) при | х - а | < d, то есть - f ( a ) < f ( x ) - f ( a ) < f (a) в d- окрестности точки а.

Из последнего неравенства следует, что f (x) > 0 в d- окрестности точки а.

Итак, если f (x) положительна и непрерывна в точке а, то она остается положительной в некоторой окрестности точки а. Это свойство называется устойчивостью знака непрерывной функции.

Пусть f (x) определена на [ a, a + d). Функция f (x) называется непрерывной в точке а справа, если f (x) = f (а). (то есть f (а + 0) = f (а)).

Аналогично определяется непрерывность в точке а слева.

Пример:

f (x) = [ x ].

(рисунок)

" целого n: f (n - 0) = n - 1, f (n + 0) = n, f (n) = n, то есть, f (n + 0) = f (n) ¹ f (n - 0).

Следовательно, в целочисленных точках эта функция непрерывна только справа. В остальных точках- и справа и слева.