Теорема Коши о нулях непрерывной ф-ции

Если f (x) непрерывна на [ a, b ] и f (а) и f (b) – разных знаков, то $ c Î [ a, b ]: f (c) = 0.

Доказательство:

Пусть для определённости f (а) < 0, f (b) > 0. Тогда, в силу устойчивости знака непрерывной функции, найдётся правая полуокрестность точки а, в которой f (x) < 0.

Рассмотрим множество Х таких точек Î[ a, b ], что f (x) < 0 на [ a, ).

X ={ : Î[ a, b ], f (x) < 0 на [ a, )}.

Это множество непустое, ограниченное сверху и, следовательно, имеет точную верхнюю грань: с º sup X. Отметим, что " x < c: f (x) < 0.

Докажем, что f (с) = 0.

Допустим, что это не так.

Предположим, что f (с) > 0. Тогда Þ f (x) > 0 в некоторой окрестности точки c, и, следовательно, (рисунок)

$ x < c: f (x) > 0, что противоречит...

Предположим, что f (с) < 0. Тогда f (x) < 0 в некоторой окрестности точки с.

(рисунок)

Следовательно, $ > c: f (x) < 0 на [ a, ), а это противоречит тому, что c = sup X.

Значит, наше предположение неверно, и f (c) = 0.

Теорема доказана.

Инвариантность формы первого дифференциала.

Пусть y = f(x), где х - независимая переменная. Тогда оп определению dy = f'(x)dx (1) Где dx = Dx. dy называется также первым дифференциалом функции. Покажем, что формула (1) сохраняется и в том случае, когда х является не независимой переменной, а дифференцируемой функцией x = j(x), t - независимая переменная. y = f(j(t)) º F(t), dy = F'(t)dt. Воспользуемся формулой дифференцирования сложной функции:

F'(t) = f'(j(t))j'(t).

dy = f'(j(t))j'(t)dt.

Но, так как x = j(t), то dx = j'(t)dt, dy = f'(x)dx, то есть формула 1 остается в силе и в этом случае. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала. Отметим, что не меняется только форма (вид) первого дифференциала, а содержание меняется. Именно, если х - независимая переменная, то dx = Dx, если же x = j(t), то dy = j'(t)dt ¹Dx.

Производная сложной функции.

Рассмотрим сложную функцию: y = f(t), где t = j(x), то есть y = f(j(x)) º F(x).

Теорема Пусть функция t = j(x) дифференцируема в точке х₀, а функция y = f(t) дифференцируема в точке t₀, где t₀ = j(х₀). Тогда сложная функция F(x) = f(j(x)) дифференцируема в точке х₀, и имеет место формула F'(х₀) = f'(t₀)×j'(х₀) = f'(j(х₀))×j'(х₀).

Доказательство:

Нужно доказать, что приращение функции y = F(x) = f(j(x)) в точке х₀ можно представить в виде: Dy = f'(t₀)j'(х₀)Dx + a(Dx)Dx, (1), где a(Dx) ® 0 при Dx ® 0. a(0) = 0. Зададим в точке х₀ приращение аргумента х, равное Dx. Тогда функция t = j(x) получит приращение Dt = j(х₀ + Dх) - j(х₀). Так как t = j(x) дифференцируема в точке х₀ +, то Dt можно представить в виде: Dt = j'(х₀)Dx + b(Dx)Dx. (2), где b(Dx) ® 0 при Dx ® 0. b(0) = 0. Приращению Dt соответствует приращение Dy = f(t₀+Dt) + f'(t₀), функции y = f(t). Так как y = f(t) дифференцируема в точке t₀, то Dy можно представить в виде:

Dy = f'(t₀) Dt + g(Dt)Dt. (2), где g(Dt) ® 0 при Dt ® 0. g(0) = 0. (3)

Подставляя (2) в (3), получим:

Dy = f'(t₀ )(j'(х₀)Dx + [f'(t₀)b(Dx) + gj'(х₀) + gb(Dx)]Dx, где [f'(t₀)b(Dx) + gj'(х₀) + gb(Dx)] Û a(Dx).

Очевидно, что a(Dx) ® 0 при Dх ® 0, Dх ® 0.

Тем самым доказано равенство (1), и, значит, 4.4 доказана