Несобственные интегралы с бесконечными пределами

ОПР: Пусть функция f(x) определена на промежутке [a; +¥) и интегрируема на любом отрезке [a,R], R>0, так что интеграл имеет смысл, предел этого интеграла при R®¥ называется несобственным интегралом I рода и обозначается

. В случае, если этот предел конечен, говорят, что несобственный интеграл сходится, а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [a, +¥), если же предел бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла по промежутку (-¥, b]. . Наконец, несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами можно определить как сумму несобственных интегралов

, где с - любое число.

Геометрический смысл несобственного интеграла первого рода основан на геометрической интерпретации определенного интеграла на отрезке [a,R]: это площадь бесконечной области, ограниченной сверху неотрицательной функцией f(x), снизу осью Ох, слева - прямой х=ф. Такая же интерпретация имеет место и для остальных несобственных интегралов.