Интеграл с переменным верхним пределом

ОПР: x Î [a,b] - это интеграл, у которого нижний предел а=const, а верхний предел х – переменный. Величина этого интеграла представляет собой функцию верхнего предела - f(х)= , где х принадлежит сегменту [a,b] и ф(х)= интеграл с переменным верхним пределом. Геометрически интеграл с переменным верхним пределом представляет собой S криволинейной трапеции.

ТЕОР: Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.е. Ф’(x)=()’_x=f(x)

Док-во: Ф’(х)= DФ(х)=

= - = + - = =f(c)* Dx. По теореме о среднем существует cÎ[x, x+Dx]

Ф’(x)= Отсюда следует, что Ф’(x)=f(x)

13.ФОРМУЛА НЬЮТОНА – ЛЕЙБНИЦА.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и имеет на этом отрезке семейство первообразных, одной из которых является Ф(х)= .

ТЕОР: Если функция f(x) непрерывна на [a,b], то верно следующее равенство . Т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования соответственно. Она называется формулой Ньютона-Лейбница.

Док-во: Пусть F(x) другая первообразная для функции f(x) на том же отрезке, которая отличается от Ф(х) не более чем на константу, т.е. Ф(х)=F(x)+C, =F(x)+C, где С - некоторое число, a£x£b. Подставляя в это равенство значение х=а и используя свойство 1, имеем: =0, получим: 0= , F(a)+C, C=-F(a)

Т.е. для любого хÎ[a,b] Полагая здесь х=b получим искомую формулу.