Основные свойства определенного интеграла

Интеграл был введен для случая a<b. Обобщим понятие определенного интеграла, на случаи когда a=b, a>b.

1. а) Если a=b, то по определению на отрезке нулевой длины полагаем, что =0

б) Если а>b, то по определению =- (4), т.е. когда отрезок [a,b] при a<b пробегает в направлении от b к а, имеем b=X0, а=Xn, DXi=Xi-Xi-1<0

2. Для любых чисел а, b и с справедливо равенство: = + (интегралы, входящие существуют)

Док-во: Допустим, что а<c<b, т.к. предел интегральной суммы s не зависит от способа разбиения отрезка [a,b], то будем проводить разбиение так, чтобы точка с всегда была бы точкой разбиения [a,b]. Если, например, с=х_m, то s можно разбить на две суммы: s= = + . Переходя в последнем равенстве к пределу при l®0 мы и получим искомое равенство.

Доказательство для другого расположения точек a, b, c легко сводится к рассмотренному случаю. Пусть, например, а<b<c, тогда по доказанному, имеем:

= + , откуда учитывая (4) получаем

= - = + .

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е. =к .

Док-во: для любого разбиения отрезка [a,b] и любого выбора точек x_I

=k Переходя к пределу при l®0 имеем

= =к = к .

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е. ± .

Док-во: для любого разбиения отрезка [a.b] и любого выбора точек x_I

_{= ±} Так как = и

= , то получаем что

₌ ± = ±