Теорема о среднем

Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b] то существует т С, принадлежащая этому сегменту, такая что =f(c)(b-a). Эта формула называется формулой среднего значения.

Док-во: Так как f(x) непрерывна на [a,b] то по второй теореме Вейерштрасса, существуют числа m и М такие что f(x)=m£f(x)£M= f(x). Отсюда находим

m(b-a)£ £M(b-a), следовательно, m . Положим, =m (m£m£M). Так как m заключено между наименьшим и наибольшим значениями непрерывной функции f(x) и на [a,b] то по теореме о прохождении функции через любое промежуточное значение, существует точка сÎ[a,b] такая что f(c)=m. Поэтому =f(c), а это равносильно искомому равенству. Величина f(c) называется средним значение функции f(x) на отрезке [a,b].

Теорема о среднем имеет геометрический смысл: величина определенного интеграла при f(x)>=0 равна площади прямоугольника имеющего высоту f(c) и основание b-a.