Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл

Рассмотрим функцию f(x) определенную в каждой точке сегмента [a,b], a<b

ОПР: Будем говорить, что задано разбиение сегмента [a,b] если заданы точки х_0, х_{1, ….,} х _{n .}

Такие что а=х_0<х_1<х _2<…<х_n=b {х _n} - разбиение х _n. Рассмотрим на сегменте [a,b] функцию f(x) принимающую в каждой точке сегмента конечные значения. По данному разбиению {x_k} построим d(х _к;x _к)= (1) x _кÎ[x_k-1;x_k], d(х _к;x _к) - интегральная сумма. Она зависит от способа разбиения Xk и от выбора точек x _к Отрезки, получающиеся в результате разбиения [x_k-1;x_k] называются частичными отрезками.

D х_к =х_к-х_к-1 – длина частичного отрезка. И тогда интегральную сумму (1) можно записать в виде d(х_к;x_к)= (2)

Диаметр разбиения: максимальная длина частичного отрезка называется диаметром разбиения и обозначается числом d. d=maxD х_к

Геометрический смысл интегральных сумм:

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сегментом [a,b] снизу, неотрицательной функцией f(x) сверху, с боков прямыми x=a, x=b. Возьмем разбиение сегмента [a,b] {x_k}. На указанном сегменте выберем точки x₁, x₂,…, x_к.

f(x₁)*Dx₁+f(x₂)*Dx₂+…. f(xn)*Dx_n=d(х_к;x_к)=S*

f(x₁)*Dx₁+f(x₂)*Dx₂+…. f(xn)*Dx_n=d(х_к;x_к)=S*

Вывод: интегральная сумма представляет собой площадь ступенчатой фигуры, т.е. интегральная сумма (2) равна S*. Если мы устремим диаметр d к 0, S* будет стремится к площади криволинейной трапеции.