Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

TЕОР: Если функция u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на сегменте [a,b] то справедлива формула

Док-во: Так как функция u(x) и v(x) по условию имеют производные, то по правилу дифференцирования произведения [u(x)v(x)]’=u(x)v’(x)+v(x)u’(x). Откуда следует, что функция u(x)v(x) является первообразной для функции u(x)v’(x)+v(x)u’(x). А т.к. функция u(x)v’(x)+v(x)u’(x) непрерывна на отрезке [a,b], то интеграл от нее существует, т.е. она интегрируема на этом отрезке и по формуле Ньютона-Лейбница Отсюда по свойству 4 определенных интегралов получим, что то же .