Понятие неопределенного интеграла

ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА (ЛЕММА, ТЕОРЕМА).

ОПР: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке X, если для любого x из этого промежутка выполняется условие F’(x)=f(x).

ЛЕММА: Функция, производная которой на промежутке Х равна 0, постоянна на этом промежутке.

Док-во: Пусть для "xÎX f ’(x)=0, тогда для " X1, X2ÎX, X1<X2 выполняется формула конечных приращений Лагранжа. (f ’(x)=0 - непрерывна, дифференцирована) f(X2) – f(X1) = f ’(x)·(X2 – X1), xÎ(X1, X2), f ’(x) =0 Þ f(X1) = f(X2) Þ f(x) = C.

ТЕОР: Если F(x) – первообразная для f(x), на промежутке X, то любая другая первообразная этой функции на промежутке X представлена в виде F(x) +C, где C – произвольная постоянная.

Док-во: Пусть F(x) – первообразная для f(x) на X Þ ("xÎX) F’(x) = f(x). Пусть функция j(x) – первообразная для f(x) Þ ("xÎX) j’(x) = f(x). Рассмотрим разность

(j(x) – F (x))’ = j’(x) – F’ (x) = f (x) – f (x) = 0 Þ (j(x) – F (x))’ = 0 на X Þ для "xÎX эта функция является постоянной Þ j(x) = F (x) + C, где C – произвольная постоянная.

ПОНЯТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

ОПР: Если функция F(x) – первообразная для f(x) на промежутке X, то множество функций F(x) + C, где C - произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на промежутке X и обозначается òf(x)dx = F(x) + C, где C – произвольная постоянная, при этом f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx - подынтегральное выражение, x - переменная интегрирования. Это множество исчерпывает семейство первообразных. Для всякой функции f(x) непрерывной на промежутке X существует первообразная Þ существует и неопределенный интеграл.

ОПР: Восстановление функции по ее производной или отыскивание неопределенного интеграла – интегрирование функции. Интегрирование – операция обратная операции дифференцирования. Для того чтобы проверить правильность интегрирования надо продифференцировать результат.

1. ò x dx = (x /(a+1)) + C, a ¹ 1

2. ò dx/x = ln|x| + C

3. ò 0 ·dx = C

4. ò dx = x + C

5. ò cosX dx = sinX + C

6. ò sinX dx = -cosX + C

7. ò dx/cos X = tgX + C

8. ò dx/sin X = -ctgX + C

9. ò a dx = a /ln a + C

10. ò e dx = e + C

11. ò dx/(1+x ) = arctgX +C; -arcctgX + C

12. ò dx/Ö(1+x ) = arcsinX + C; -arccosX + C

13. ò dx/(x +a ) = 1/a arctg(X/a) + C

14. ò dx/Ö(a - x ) = arcsin(X/a) + C

15. ò dx/Ö(x ± k) = ln|x + Ö(x ± k)| + C

16. ò dx/(x - a ) = 1/2a ln|(x – a)/(x + a)| + C