Тема: Компактні простори

Основні відомості: 1.Визначення компактного простору.

2. Необхідні та достатні умови компактності топологічного, метричного та нормованого просторів..

Задачі.

1. Нехай Е компактний простір, а F – замкнена множина в Е. Довести, що F – компактний простір.

2. Довести за допомогою задачі 1, що будь-яка замкнена обмежена множина в R² компактна.

3. Довести, що об’єднання кінцевого числа компактів є компактом.

4. Показати, що множина не є компактною в R¹.

5. Довести, що якщо метричний простір Е – компактен, то з будь-якої послідовності Е можна виділити підпослідовність, що сходиться.

Задачі для самостійного розв’язання

1. Довести компактність в R² множина за допомогою означення.

2. Довести, що перетин будь-якої сукупності компактів є компактом.

3. Нехай і , причому А і В не порожні, де - метричні простори. Довести, що для компактності в з метрикою , необхідно і достатньо, щоб А і В були компактні.

4. Довести, що відрізок можна покрити кінцевим числом інтервалів радіусом не більше ніж , де довільне, наперед задане число.

5. Розглянемо простір з нормою . Показати, що в замкнена обмежена множина не є компактною.

6. Довести, що з будь-якої послідовності точок одиничної окружності в можна виділити підпослідовність, яка сходиться.

7. Довести компактність з допомогою теореми Больцано-Вєйерштрасса.

8. Навести приклад послідовності з якої неможна відокремити підпослідовність, що сходиться, у множині .

9. Нехай послідовність множин в метричному просторі Х таких, що

1. - компактна множина для кожного і.

2. для кожного i >1.

Довести, що Ø.

10. Показати на прикладі, що ствердження задачі 9 не вірне, якщо замінити умову 2 із задачі 9 на: для кожного i>1.