Означення компактних просторів. Приклади

Нехай Е - топологічний простір.

Означення. Множина підмножин Е називається покриттям Е, якщо будь-яка точка x з Е належить хоча б одній з цих підмножин.

Покриття скінчене - якщо воно складається з скінченого числа множин.

Покриття відкрите - якщо воно складається з відкритих множин.

Наприклад відкрите покриття R¹

Означення. Підпокриттям називається покриття, утворене з множин першого покриття.

Означення (властивість Гейне-Бореля-Лебега). Топологічний простір називається компактним, якщо з будь-якого його відкритого покриття можна виділити хоча б одне скінчене підпокриття.

Зауваження. Компактність - властивість простору Е.

Можливо розглядати компактність з індукованою в топологією при цьому Е може бути не компактним простором.