Теореми Вєйерштрасса. Їх трактування в R1 і Rn

Теорема. Образ компакта при неперервному відображенні є компактом.

Доведення. , тобто , де Е – компактний простір, а - неперервна. Нехай В – відкрите покриття F, тоді становлять відкрите покриття Е з якого можна вибрати скінчене підпокриття , але тоді покриття F. Дійсно, не порожнє. Нехай - належить деякому . Таким чином - шукане покриття.

Наслідок 1. Будь-яка неперервна бієкція компактного простору Е на топологічний простір F є гомоморфізмом.

Насправді, образ кожної замкненої підмножини Е (компактної підмножини) буде компактне в F, a значить і замкнене в F. Отже, відображення - гомоморфізм, згідно теоремі про достатню умову гомоморфізму.

Наслідок 2. Відмітимо, що якщо , де - неперервне, Е – компактний, а F - метричний простір, тоді множина - замкнена і обмежена в F.

Це твердження у випадку є теоремою Вєйерштрасса 1.

Теорема. Нехай визначена і неперервна на замкненій обмеженій множині в Rⁿ, тоді на цій множині вона обмежена.(При ).

Теорема. Неперервне відображення не порожнього компактного простору в R¹ набуває свого максимального і мінімального значень.

Доведення. Нехай, , - неперервне, Е - компактний, тоді (Е) - компакт в R¹, тобто замкнене і обмежене в R¹. Оскільки (Е) обмежене зверху, то і - гранична точка (Е), і в силу замкненості , тобто . Аналогічне доведення для мінімального значення.

Цю властивість можна переформулювати у випадку та

Теорема (Вєйерштрасса 2). Нехай і - неперервна на [ ], тоді вона набуває свого максимального і мінімального значення на [ ].

Теорема. Нехай визначена і неперервна на замкненій обмеженій множині в Rⁿ, тоді вона на цій множині набуває свого найбільшого і найменшого значення.