Властивості і ознаки компактності

Теорема. Для того, щоб топологічний простір Е був компактним, необхідно і достатньо, щоб з будь-якої множини замкнених підмножин Е, перетин яких порожній, можна було вибрати скінченну множину підмножин з порожнім перетином.

Доведення. Нехай замкнені множини такі, що Ø. - відкриті множини. Оскільки Ø, - відкрите покриття Е. Тоді компактність Е означає існування скінченого числа , таких що = Ø і навпаки.

Наслідок. Якщо простір Е - компактний, а спадна послідовність замкнених множин Е, перетин яких порожній, то , що множина - порожня.

У випадку Е= ця властивість називається лемою про вкладені відрізки: Нехай є система вкладених відрізків , тоді існує таке, що . Якщо при цьому , то таке - єдине.

Теорема. Нехай Е - метричний простір, а F- компактна підмножина Е. Тоді F є замкненою множиною в Е.

Доведення. Нехай - гранична точка F. Покажемо, що Позначимо , де — замкнена куля з центром в , отже, F_n - спадна послідовність замкнених множин в F. Жодна з F_n не порожня в силу того, що - гранична для F, а оскільки множина F компактна, тоді Ø. Однак, , тобто .

Зауваження. Замкненість не гарантує компактності. Прикладом є простір R¹.

Теорема. Будь-яка замкнена підмножина компактного простору є компактним простором.

Доведення здійснюється за допомогою необхідної та достатньої умови у термінах замкнених множин.

Повернемося до ситуації нормованого простору.

Теорема. Для того, щоб підмножина скінченовимірного векторного нормованого простору Е була компактною, необхідно і достатньо, щоб вона була замкненою і обмеженою.

Доведення.

Необхідність випливає з доведених властивостей в загальній ситуації.

Достатність. Припустимо спочатку, що і норма . Будь-яка обмежена підмножина міститься в деякій кулі, в нашому випадку замкненому обмеженому паралелепіпеді, тобто міститься в деякому компакті. Оскільки підмножина замкнена, то за попередньою теоремою вона - компактна. Нехай Е - довільний нормований скінченовимірний простір. Обираючи в Е базис , одержимо, що однозначно відповідає точка . Нехай - норма в Е. Розглянемо в Е норму означену вище, вона еквівалентна нормі (див. попередні лекції), отже поняття (замкнений, обмежений, компактний) одні і ті ж для цих норм.

Повторюючи все, що було сказане вище, у випадку простору Е з нормою , маємо, що замкнена і обмежена підмножина Е компактна у топології, що задана нормою , отже вона буде компактна у просторі Е з нормою .