Тема: Неперервні функції. Точки розриву функції та їх класифікація

Основні відомості: 1.Визначення неперервності функції в точці.

2.Властивості неперервної функції в точці.

3.Розриви.

4. Класифікація розривів.

Задачі

1.1.Довести неперервність в кожній точці за означенням: .

1.2.Функція (х) неперервна в точці х₀ та в будь-якому околі цієї точки є як значення х, в яких функція додатня, так і значення x, в яких функція від'ємна. Знайти (х₀).

1.3.Довести, що якщо (х) - неперервна функція, то F(х) = є також неперервна

функція.

Дослідити на неперервність та зобразити графічно і з'ясувати характер розриву.

2.1.

2.2.

2.3. Довести, що функція та розривна в інших точках.

2.4.

2.5.

Завдання для самостійної роботи.

Довести неперервність в кожній точці за означенням.

1. y=2x-1

2. y=

3.

4. y=x³

5. y=cosx

6. Нехай неперервна в точці x_о та (х₀) 0. Довести, що існує число c>0 і окіл точки х₀ такі, що для будь-якого x з цього околу справедлива нерівність . Визначити точки розриву функцій та дослідити характер цих точок.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Чи існує при якому функція неперервна.

14.

15.

16.

Чи існують та при яких неперервна

17.

18.

19.

20. Функція неперервна в точці х₀, а функція g розривна в точці х₀. Довести, що функція +g розривна в цій точці.

21.Довести, що якщо у = (х) - неперервна функція, то у = (х) неперервна.

22.Нехай (х) неперервна функція. Чи завжди існують неперервні g(х) та h(х) такі, що
для всіх х (х) = g(х)sin х + h(х) соs х.

23.Нехай (х) - неперервна на проміжку X. Довести, що функції

неперервні на Х.

24.Чи можливо стверджувати, що квадрат розривної функції є також розривна функція.
Побудувати приклад.

25.Довести, що якщо функція монотонна, то будь-яка її точка розриву є точка розриву
першого роду.

26.

27. 28.