![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема. Для того, щоб метризований простір Е був компактним, необхідно і
достатньо, щоб будь-яка послідовність елементів з Е мала принаймні одну граничну точку (з будь-якої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність).
Доведення. Доведемо необхідність (котру будемо застосовувати нижче). Нехай простір Е компактний і .
Позначимо і
- його замикання.
утворюють спадну послідовність замкнених множин. Оскільки жодна з них не порожня, то
Ø.
Нехай , з іншого боку
, тобто
, значить
- гранична точка
- гранична
.
У випадку Е=R1 або Rn теорема звучить наступним чином:
Теорема. Больцано-Вєйерштрасса. Із будь-якої обмеженої послідовності в R1 (або Rn) можна виділити збіжну підпослідовність.
Це зрозуміло, оскільки обмежена послідовність у R1 (Rn) належить (паралелепіпед), а це компактна множина.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 296 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!