Рівномірна неперервність. Теорема Кантора

Наступна властивість стосується тільки метричних просторів.

Означення. Нехай Е і F - метричні простори з метриками . Відображення рівномірно неперервне на Е, якщо таких, що виконується

З рівномірної неперервності випливає неперервність, але обернене твердження невірне.

Приклад. . , при .

Маємо: , отже функція не задовольняє означенню рівномірної неперервності, але, згідно властивостям неперервних функцій, буде неперервною на Е.

Теорема Кантора. Будь-яке неперервне відображення компактного метричного простору Е в метричний простір F рівномірно неперервне.

Доведення. Нехай відображення не є рівномірно неперервне, тобто , але Покладемо, , тоді , що і Розглянемо послідовність , тоді вона має збіжну підпослідовність в силу компактності Е, нехай це вона сама ж, тобто в Е. Тоді . Дійсно, . Але в силу неперервності в точці матимемо , при . Отримали суперечність, отже, наше припущення невірне. Відображення - рівномірно неперервне.

У випадку і теорема має вигляд:

Теорема (Кантора). Нехай , тоді якщо - неперервна на [ ], то воно рівномірно неперервне.

Теорема. Нехай визначена і неперервна на замкненій обмеженій множині в Rⁿ, тоді рівномірно неперервна.