![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Властивість проміжних значень для монотонних функцій є достатньою умовою для неперервності.
Теорема. Нехай деяка неперервна строго зростаюча (спадаюча) функція на відрізку
. Тоді образ
, а
є гомеоморфізмом
на
. Причому обернена функція строго зростаюча (спадаюча).
Доведення. Рівність випливає з властивостей неперервних функцій, тобто
- сюр’єктивно. Оскільки
строго зростаюча, то з рівності
, тобто
- ін’єктивна. Отже
- бієкція і згідно з наслідком до першої теореми лекції № 14
- гомоморфізм.
Покажемо, що - строго зростаюча.
Нехай , де
, тоді
, якщо припустити, що
то згідно з умовою теореми
, отже
, тобто функція
строго зростаюча.
Покажемо, що необхідна умова неперервності функції на відрізку, для строго монотонної функції, буде і достатньою умовою.
Теорема. Нехай та строго монотонна, тоді
неперервна на
(
- можуть бути і нескінченними).
Доведення. Припустимо, що строго зростаюча. Оскільки монотонна функція має розриви лише 1-го роду (див. попередні лекції), то якщо
точка розриву зліва, маємо
(для
при
, отже
, але оскільки в
розрив зліва, то
).
Тоді відрізок не заповнюється повністю значеннями функції
, що протирічить тому, що
. Таким чином
неперервна в
зліва, аналогічно і з права. Отже
неперервна у кожній точці відрізка
.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 1014 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!