Теорема про обернену функцію

Властивість проміжних значень для монотонних функцій є достатньою умовою для неперервності.

Теорема. Нехай деяка неперервна строго зростаюча (спадаюча) функція на відрізку . Тоді образ , а є гомеоморфізмом на . Причому обернена функція строго зростаюча (спадаюча).

Доведення. Рівність випливає з властивостей неперервних функцій, тобто - сюр’єктивно. Оскільки строго зростаюча, то з рівності , тобто - ін’єктивна. Отже - бієкція і згідно з наслідком до першої теореми лекції № 14 - гомоморфізм.

Покажемо, що - строго зростаюча.

Нехай , де , тоді , якщо припустити, що то згідно з умовою теореми , отже , тобто функція строго зростаюча.

Покажемо, що необхідна умова неперервності функції на відрізку, для строго монотонної функції, буде і достатньою умовою.

Теорема. Нехай та строго монотонна, тоді неперервна на ( - можуть бути і нескінченними).

Доведення. Припустимо, що строго зростаюча. Оскільки монотонна функція має розриви лише 1-го роду (див. попередні лекції), то якщо точка розриву зліва, маємо (для при , отже , але оскільки в розрив зліва, то ).

Тоді відрізок не заповнюється повністю значеннями функції , що протирічить тому, що . Таким чином неперервна в зліва, аналогічно і з права. Отже неперервна у кожній точці відрізка .