Приклади

1. Простір, що містить скінчене число точок - компактний.

2. R¹, R², векторні нормовані простори - не компактні, так як множина відкритих куль з центром в точці 0 і радіусом більше нуля утворює відкрите покриття. Будь-яке скінчене число цих куль міститься в одній кулі скінченого радіуса і, отже, не покриває всього простору.

В загальному вигляді, будь-яка необмежена підмножина метричного простору не компактна.

Необхідна умова компактності метричного простору - обмеженість.

Теорема. Будь-який відрізок - компактна множина.

Доведення. Нехай відкрите покриття і с - середина .

Припустимо, що з неможливо вибрати скінченого числа підмножин покриваючих повністю, тоді, це неможливо зробити принаймні для одного [ , с] або [с,b], наприклад, [ ,с]=[ ]. Розділивши його на два, ми одержали [ ], що має ті ж властивості. Таким чином, отримали послідовність [ ],...,[ ],... під інтервалів : жоден з них не може бути покритий скінченою кількістю множин з .

- зростає і обмежена зверху, тоді .

- спадає і обмежена знизу, тоді .

Так як при , то Тоді будь-який відкритий інтервал, що містить , містить всі i , а значить, містить і всі [ ] з цими номерами. В існує відкрита множина і для достатньо великих n . Прийшли до суперечності з тим, що [ ] не покритий скінченим числом множин з , що і доводить теорему.

Теорема. В Rⁿ замкнений обмежений паралелепіпед, тобто множина є компактним простором.

Довести аналогічно доведенню попередньої теореми.