Тема: Границя послідовності

Необхідні відомості:

1. Визначення границі послідовності.

2. Властивості границь послідовностей.

3. Граничні переходи в нерівностях.

4. Властивості монотонних послідовностей.

Задачі:

1.1.Довести ; ;

1.2.Довести, що послідовність розбігається

1.3.Довести збіжність послідовностей (використовувати критерій Коші).

2. Використовуючи властивості граничних переходів розв’язати наступні задачі:

2.1.Довести (використовувати нерівність Бернуллі); (використовувати оцінку за допомогою середнього арифметичного).

2.2.Знайти (оцінити знизу та зверху дріб).

2.3.Нехай - послідовність чисел така, що . Довести, що

2.4.Розв’язати рівняння

2.5.Довести нерівність

Завдання для самостійної роботи.

Довести:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. Знайти

9. Знайти , - будь-яке число.

10. Нехай та для будь-якого . Довести, що

11. Довести збіжність послідовності

12. Довести збіжність послідовності (використовувати ).

13. Довести, що послідовність розбігається.

Довести, що послідовності мають границю:

14.

15.

16.

17.Знайти границю послідовності

18.Знайти значення виразу

19.Нехай . Довести, що існує і знайти його.

20.Довести збіжність та знайти границю

21.Довести, що монотонна послідовність буде збіжною, якщо збігається деяка її підпослідовність.

22.Довести, що якщо , то

23.Довести, що якщо послідовність не обмежена, то існує підпослідовність така, що .

24.Якщо , то . Довести за допомогою критерію Коші.

25.Довести .