Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману

Теорема:

Функция интегрируема на отрезке тогда и только тогда, когда .

Доказательство:

Докажем необходимость условия:

Функция интегрируема на отрезке .

Пусть , тогда , т.е. .

т.е. и .

Далее имеем: , т.е. .

Необходимость доказана.

Докажем достаточность условия:

.

.

.

Докажем, что .

,

,

, тогда , т.е. ,

.

Достаточность доказана.