Интегрируемость по Риману непрерывной функции

Теорема 1:

Если функция непрерывна на , то она интегрируема на .

Доказательство:

Пусть непрерывна на ; тогда для разбиения R, у которого частичные отрезки , имеет место ().

где есть модуль непрерывности на .

Поэтому

.

Но, как мы знаем, для непрерывной на замкнутом конечном отрезке функции , поэтому для любого можно указать такое , что .

В силу основной теоремы интеграл на существует.

Теорема доказана.