Функция непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем ( )

Доказательство:

Допустим что теорема неверна. Построим отрицание к определению 2.

. Зададим стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел , тогда . Так как точки последовательности принадлежат к отрезку , то эта последовательность ограничена, и из нее можно выделить, по теореме Больцано-Вейерштрасса, подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке . Значит, из нее можно выделить также подпоследовательность . Аналогично выделим подпоследовательность и . Получили противоречие – теорема доказана.

Необходимость условия: Если , то теорема 2 не выполняется.

Пример Пусть при .