Суммы Дарбу. Их Свойства

Определение:

Пусть ограничена на отрезке . Введём разбиение R этого отрезка.

R: , .

Тогда можем составить выражения:

- нижняя сумма Дарбу, - верхняя сумма Дарбу.

, .

Пусть ограничена на отрезке . Введём разбиение R этого отрезка.

R: , .

Тогда можем составить выражения:

- нижняя сумма Дарбу, - верхняя сумма Дарбу.

, .

Свойства сумм Дарбу:

1) , для одного и того же разбиения.

2) Рассмотрим два разбиения в случае, когда одно разбиение является продолжением другого. Т.е. - продолжение , если все точки являются точками .

Добавление точек не увеличивает и не уменьшает . Пусть получается из добавлением одной точки.

, ,

,

,

Заметим, что если , то и . Отсюда заключаем:

, , , .

3) , ,

,

=> , т.е. .

- нижний интеграл (нижняя точная сумма Дарбу). .

- верхний интеграл (верхняя точная сумма Дарбу). .

.