Ограниченность интегрируемой функции

Теорема:

Если функция f(x) интегрируема на [a,b] и существует , то функция ограничена на этом отрезке.

Доказательство:

От противного: пусть f(x) неограниченна на [a,b]. Введем произвольное разбиение R: . Т.к. функция неограниченна на [a,b], то она неограниченна хотя бы на одном из отрезков . Пусть - номер того отрезка, на котором функция неограниченна. Тогда рассмотрим интегральную сумму:

- т.е. выделили суммы одно слагаемое. Обозначим , тогда получим:

(следует из неравенства о модулях). Тогда возьмем произвольное N и сделаем разность . Для этого у нас должно быть . У нас функция неограниченна на отрезке , значит . Тогда интегральная сумма будет , т.е. будет являться величиной неограниченной, т.е. не будет существовать ее предела, а значит и , что противоречит условию.

Теорема доказана.