![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть нужно найти неопределенный интеграл от рациональной действительной дроби. Если степень многочлена P k не меньше степени многочлена Q n (
), то прежде всего разделим P на Q:
Многочлен R интегрируется без труда, а – правильная действительная дробь. Все трудности сводятся к интегрированию правильной дроби, которую мы снова обозначим через
и представим в виде:
Тогда пусть ,
1 случай.
Знаменатель содержит простые действительные корни, тогда его можно разложить на простейшие множители: (см.Теор.1)
. Тогда
Приравнивая тождественно равные числители, получим:
Существуют 2 метода нахождения :
1) сравниваем коэффициенты при x с одинаковыми степенями; однако этот метод очень трудоемкий.
2) Т.к. равенства тождественны, можем взять , тогда
. Так, подставляя поочередно
найдем все
Т.о., мы получили сумму элементарных дробей, которые можем легко проинтегрировать.
Пример
2 случай.
Знаменатель содержит кратные корни, тогда его можно представить в виде:
.
Пусть существуют n различных корней с кратностями , тогда
- и делаем все так же, как и в предыдущем примере.
Пример
3 случай.
Знаменатель содержит кратные корни и многочлены, имеющие комплексные корни;
, где многочлены
,
имеют комплексные корни.
Тогда R(x) представим в виде:
Снова приводим к общему знаменателю и приравниваем числители.
Пример
4 случай
Знаменатель содержит кратные действительные и кратные комплексные корни;
Тогда R(x) представим в виде:
А дальше все делаем по старой схеме: методом неопределенных коэффициентов находим A, B...
Пример
Теорема 1
Любой многочлен над полем С раскладывается на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами:
Доказательство
Если , то все в порядке:
- линейный множитель с вещественными коэффициентами
Пусть тогда существует невещественный корень . Ему соответствует скобка
.
Тогда если – корень, то сопряженный к нему
тоже будет корнем. Тогда наряду с множителем
будет присутствовать множитель
. Перемножим эти 2 скобки:
- квадратный трехчлен с вещественными коэффициентами, что и требовалось доказать.
Теперь нам нужно доказать, что любые правильные дроби раскладываются на простейшие.
Лемма 1
Пусть многочлен представим в виде:
, где
- выделили максимальное кол-во скобок (x-a)
и - степень числителя меньше степени знаменателя, тогда
, причем дробь
- правильная; если
, то
; M(x) – многочлен с действительными коэффициентами.
Доказательство
Действуем так же, как в примерах: приводим к общему знаменателю и приравниваем числители:
; подставим
, тогда
, по условию
- нам нужно доказать, что это – многочлен, а не дробь. Подставим x=a, числитель при такой подстановке = 0, а это значит, что многочлен
делится на
, т.е. M(x) – многочлен с действительными коэффициентами.
Теперь докажем, что дробь - правильная, т.е. что
.
Степень знаменателя дроби = n-1, для числителя (M(x)): по условию и
, да еще делим на (x-a) (
), значит
- меньше степени знаменателя, что и требовалось доказать.
Лемма 2
Если многочлен Q(x) имеет комплексный корень кратности k, т е представим в виде , при этом многочлен
имеет только комплексные корни, которые не являются корнями N(x).
, тогда дробь можно представить в виде:
, причем вторая дробь будет правильной. M(x) – многочлен с действительными коэффициентами.
Доказательство
Снова приведем дробь к общему знаменателю и приравняем числители. Получим
Пусть ,
- корень многочлена
,
, значит сопряженное к нему
тоже корень. Подставим
и
:
;
Найдем определитель системы, чтобы выяснить, имеет она решения, или нет:
, значит, система разрешима и существуют A и B – решения системы, нужно доказать, что
, заменим A и B на
:
, решим сопряженную систему:
- получили исходную систему;
так как столбец - решение, столбец
является решением. А т.к. решение должно быть единственным (определитель
),
; M(x) находится аналогично Лемме 1; теорема доказана.
Обобщая все вышесказанное, получаем: («Теорему о разложении на простейшие дроби»)
Пусть многочлен представим в виде:
и положим
, тогда
Заметим, что в самой последней дроби степень числителя (первая) меньше степени знаменателя (вторая), т.е. последняя дробь – правильная. И каждую из дробей-слагаемых мы можем проинтегрировать в элементарных функциях.
Общий вывод: Любая рациональная дробь интегрируется в элементарных функциях.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 602 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!