Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие

Определение: По определению кривая называется выпуклой вниз (вверх) на отрезке [a,b], если любая дуга этой кривой с концами в точках ()расположена не ниже (не выше) стягивающей ее хорды.

Определение: Множество называется выпуклым, если для любых двух точек этого множества, отрезок, соединяющий их лежит также в этом множестве.

Выпуклость вверхВыпуклое множество

Выпуклость внизНевыпуклое множество

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие выпуклости на отрезке)

Пусть функция непрерывна на [a,b] и имеет вторую производную на (a,b). Для того чтобы кривая была выпуклой кверху (книзу) на [а,b], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство () для всех .

Доказательство:

Пусть наша кривая выпукла кверху на [a,b]. Тогда для любых х и h >0 таких, что х, х+2h [a,b], имеет место неравенство , откуда .

Если теперь и - произвольные точки интервала (a,b), то, положив h = ( - )/n, будем иметь

.

Таким образом, (, и, переходя к пределу при , получим неравенство , показывающее, что производная на интервале (a,b) не возрастает. Но тогда на (a,b).

Обратно, пусть и . Нам нужно доказать, что функция , где , удовлетворяет неравенству . Допустим, что это не так. Тогда . Поэтому .

Применяя формулу Тейлора, получим

0= . Но в правой части этой цепочки равенств первый член по предположению отрицательный, а второй неположительный, поэтому правая часть меньше нуля, и мы пришли к противоречию.

Доказательство в случае аналогично.

Теорема доказана.