Правило Лопиталя. Случай

Теорема:

Пусть функции f и g определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a и и в некоторой выколотой окрестности точки a, тогда, если

, то и

Доказательство:

Возьмем произвольную последовательность , , , тогда по определению предела по Гейне

и

Тогда - для f(x) определение предела вида |f(x)|>C, где C =

- аналогично для g(x)

Тогда можно найти такой номер, для которого будут выполняться оба неравенства:

,

Используя термины можно записать:

, Пояснение: , а т.к.

Найдем теперь предел отношения к :

[ можно добавить или отнять , предел от этого не изменится ]

[ воспользуемся теоремой Коши: или - смотря, что больше]

- по определению предела по Гейне.

Мы получили еще не совсем теорему о сходимости последовательности через подпоследовательности, (ее формулировка: если такова, что из любой её подпоследовательности можно извлечь в свою очередь подпоследовательность , сходящуюся к конечному или бесконечному А, то предел =А) мы пока что только из самой последовательности выделили сходящуюся подпоследовательность, а это еще не значит, что сама последовательность сходится.

Теперь возьмем произвольную последовательность и её произвольную подпоследовательность , тогда по только что доказанному из подпоследовательности мы можем выделить подпоследовательность , сходящуюся к , т. е.

Теперь мы взяли произвольную последовательность, поэтому

Причем важно, чтобы предел отношения производных существовал. Теорема доказана.