Производная. Определение, непрерывность функции, имеющей производную

Билет 1

Определение: Производной от функции в точке называется предел, к которому стремится отношение ее приращения в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

Т.е., если определена в , то

Теорема: (необходимое условие существования производной)

Если функция имеет конечную в точке , то непрерывна в точке .

Доказательство:

При ,

Следовательно - непрерывна в точке .

Теорема доказана.

Замечание: обратное утверждение неверно, если функция непрерывна в точке , то отсюда не следует, что она имеет производную в этой точке.

Контрпример:

Утверждение: если функция имеет в точке правую и левую производную, то она непрерывна и справа и слева.

Контрпример: