Необходимый признак экстремума функции

Теорема 15.2.(признак Ферма). Функция может иметь экстремумы только в тех точках, в которых ее производная равна нулю или не существует.

С геометрической точки зрения тот факт, что , по теореме Ролля означает, что касательная в точке х параллельна оси Ох, а тот факт, что - не существует, означает, что - не дифференцируема (см. рисунки). Примеры таких функций:

В точках и касательная параллельна оси Оу. Такие точки называются точками возврата.

В точках и касательная переходит внезапно от одного положения к другому, то есть, в этой точке нет, определенной касательной – угловые точки. Необходимый признак не является достаточным.

Пример 15.2. , но производная не меняет знака, на всей числовой оси, следовательно, точка - не экстремум. Когда же точка будет экстремумом? Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема.