Если дуга выпуклая, то она лежит по одну сторону касательной в любой ее точке

Будем рассматривать дуги, которые являются частями графика линий непрерывных функций. Линии, обращенные выпуклостью вверх, называются выпуклыми, а вниз – вогнутыми.

Определение 15.4. Точка на линии называется точкой перегиба, если она разделяет выпуклую дугу от вогнутой.

Пример 15.4. Рассмотрим : - точки перегиба.

Касательная в точке перегиба пересекает линию и параллельна Оу. Связь между второй производной и выпуклостью (вогнутостью) устанавливается следующими теоремами.

Теорема 15.4. (необходимый признак): Если дуга линии выпуклая, то (неположительная). Если дуга линии вогнутая, то (неотрицательная) в соответствующем интервале.

Теорема 15.5. (достаточный признак): Если всюду на некотором интервале, то дуга линии выпуклая. Если , то дуга – вогнутая.

Если - абсцисса точки перегиба, то , и меняет знак при переходе через . При перемене знака с «-» на «+» слева лежит выпуклый участок, а справа – вогнутый, с «+» на «-» - наоборот.