Теорема Лагранжа (1736-1813)

Теорема 14.3. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируемая на промежутке , то между точками и найдется, такая точка , что имеет место равенство:

.

Доказательство:

Пусть - непрерывна на отрезке и дифференцируема на промежутке Рассмотрим вспомогательную функцию , где

- удовлетворяет условию теоремы Ролля на отрезке . В самом деле, она непрерывна на отрезке , как алгебраическая сумма непрерывных функций, следовательно, она дифференцируема на промежутке Ее производная равна:

достигается непосредственным вычислением. На основании теоремы Ролля между точками существует такая точка с, что

Но

Отсюда, . Теорема доказана.