Производная показательной функции

Пусть , тогда прологарифмировав правую и левую части, получим:

; продифференцируем правую и левую части

; найдём ; подставив , получим: .

Вывод: ; .

Определение. Пусть - дифференцируемая функция по . Если в этом уравнении рассматривать как аргумент, а как функцию, то новая функция , где называется обратной по отношению к данной.

Теорема 1. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, то есть

Доказательство:

Дадим приращение , тогда .

Пусть , напишем тождество (2.1)

Переходя к пределу в (2.1) при и учитывая, что при этом также (в силу непрерывности обратной функции) получим

или .