Теорема М. Ролля (1652-1719)

Пусть для функции условия теоремы выполняются. Т.к. непрерывна на отрезке по теореме 2 Вейерштрасса она принимает на этом отрезке свои наибольшие и наименьшие значения: М и т.

Рассмотрим два случая:

1) По определению наибольшего и наименьшего значения из отрезка выполняется неравенство: а производная от

2) Оба эти значения функция достигает на отрезке и так как по условию теоремы то оба эти значения не могут достигаться одновременно на концах . Значит, одно из этих значений достигается внутри интервала , то есть в точке . В таком случае, мы находимся в условии теоремы Ферма, на основании которой Теорема доказана.