Формула Тейлора и её применения

1. Локальная формула Тейлора. Если: 1) функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀; 2) f(x) имеет в этой окрестности производные до (n-1)-го порядка включительно; 3) в точке x₀ существует производная n-го порядка , то

, (1)

где

.

В частности, при имеем:

. (2)

При указанных условиях представление (1) единственно.

Из локальной формулы Тейлора (2) получаем следующие пять важных разложений:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

2. Формула Тейлора. Если: 1) функция f(x) определена на сегменте ; 2) f(x) имеет на этом сегменте непрерывные производные ; 3) при существует конечная производная , то

,

где

(остаточный член в форме Лагранжа).