Неопределённый интеграл

Пусть на интервале задана функция . Если , где , то функция называется первообразной функцией функции на интервале . Совокупность первообразных , где C – произвольная постоянная, функции , где , называется неопределённым интегралом функции :

.

Основные правила интегрирования:

1) ,

2) ,

3) ,

4) Если , то при условии, что a,b – постоянные числа, .

Основные методы интегрирования.

1. Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

Пример.

2. Метод подстановки. Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, то есть перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.

Теорема 1. Пусть функция x=j (t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х µ множество значений этой функции, на котором определена функция f (x). Тогда, если на множестве Х функция f (x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула

Эта формула называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле.

Пример.

3. Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям основан на применении формулы дифференцирования произведения двух функций.

Теорема 2. Пусть функции u (x) и v (x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х и пусть функция u’ (x) v (x) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке Х функция u (x) v’ (x) также имеет первообразную и справедлива формула

Эта формула называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле. В качестве функции u (x) принимается функция которая дифференцированием упрощается или трансцендентные функции ln x, arctg x, arcsin x.

Пример 1.

Пример 2.

Таблица простейших интегралов

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. , , . 8. .

9. 10. .

11. 12.

13. .

14. = , .

15. . = .

16. = .

17. 18.

19. 20.