Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций

Предварительно введем понятие рациональной функции от двух переменных u и v, то есть функции получающейся из этих переменных и некоторых постоянных, над которыми производятся только операции сложения, вычитания, умножения и деления R (u, v). Такова, например, функция

Если переменные u и v, в свою очередь являются функциями переменной x: то функция называется рациональной функцией от и

Рассмотрим теперь интегралы от некоторых простейших иррациональных и трансцендентных функций сводящихся к интегралам от рациональных функций.

1. Интегралы вида где a, b, c, d – некоторые числа m – натуральное число. Интегралы данного вида рационализируются подстановкой

2. Интеграл вида где a, b, c – некоторые числа Данный интеграл зависит от корней квадратного трехчлена Если этот трехчлен имеет два различных действительных корня x ₁ и x ₂, то он сводится к интегралу вида 1, а именно к интегралу

Если x ₁= x ₂, то интеграл сводится к интегралу от рациональной функции, а именно к интегралу

Если же квадратный трехчлен не имеет вещественных корней, то с помощью подстановки Эйлера

данный интеграл приводится к интегралу от рациональной функции

3. Интеграл вида рационализируется подстановкой Действительно,

4. Интеграл вида рационализируется подстановкой Действительно,

Интеграл Римана

Задача о поиске площади криволинейной трапеции приводит к понятию определенного интеграла. Криволинейная трапеция ограничена осью Ох, непрерывной функцией y=f(x), прямыми x=a и x=b, т.е. трапеция расположена над осью Ох. Разделим основание трапеции ¾ интервал [ a,b ] на n частичных интервалов [ x₀,x₁ ],[ x₁,x₂ ],…,[ x_n-1,x_n ], где a=x₀<x₁<x₂<…<x_n-1<x_n=b.

Проведя в точках деления [a,b] прямые, параллельные оси ординат, разобьем криволинейную трапецию на n частичных трапеций. В каждом частичном интервале возьмем точки x1,x2,…,xт, так что

x₀£x₁£x₁, x₁£x₂£x₂, …, x_n-1£x_n£x_n.

Рассмотрим значения ¦(x₁),¦(x₂),…,¦(x_n) и т.д.

В результате, сложив площади всех частичных трапеций, получим площадь криволинейной трапеции

S= S_n= ¦(x_i)Dx_i, где Dx_i=x_i-x_i-1.

¦(x_i)Dx_i называется n -й интегральной суммой.

¦(x_i)Dx_i= ¦(x)dx называется определенным интегралом, a- нижний предел интегрирования, b - верхний предел интегрирования.

Определенным интегралом называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала.

Теорема существования определенного интеграла. Если функция ¦(x) непрерывна в замкнутом интервале [a,b], то ее n-я интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала. Этот предел, т.е. определенный интеграл ¦(x)dx, не зависит от способа разбиения интервала интегрирования на частичные интервалы и от выбора в них промежуточных точек.