Предельная точка множества. Предел функции в точке

Определение 1. Пусть . Число называется предельной точкой множе­ства X, если

.

Из определения следует, что любая окрестность точки содержит точку из множества X, отличную от . Сама точка может принадлежать, а может и не принадлежать мно­жеству X.

Определение 2. Значение есть предельная точка множества X, если .

Значение есть предельная точка множества X, если

.

Определение 3. Точка , не являющаяся предельной точкой множества X, назы­вается изолированной точкой множества X, т. е.

.

Определение 4. Число называется предельной точкой множества , если из этого множества можно выделить последовательность (x_n) различных точек, схо­дящуюся к .

Определения 1 и 4 эквивалентны.

Пусть и - предельная точка множества X.

Определение 5 (Гейне). Функция f имеет предельное значение при (или в точке ), если существует такое число , что для произвольной последовательности (х_n) значений , сходящейся к точке , соответствующая последователь­ность значений функции (f (x _n)) сходится к точке А.

Определение 6 (Коши). Функция f имеет предел при , если

.

При этом число А называем пределом (или предельным значением) функции f в точке х₀ и записываем

или .

Определения Гейне и Коши эквивалентны.

Введем понятие одностороннего предела.

Определение 7 (Гейне). Функция f имеет в точке, предел слева (справа), если существует такое число , что для произвольной последовательности (х_n) значе­ний х, , сходящейся к точке при , соответствующая последовательность (f (x_n)) значений функции f сходится к точке А.

Определение 8 (Коши). Функция f имеет в точке х ₀ предел слева (справа), если

.

Число А называем пределом слева (справа) функции f в точке и обозначаем

или

Функция f имеет предел в точке х ₀ тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны между собой пределы слева и справа.

Теорема (критерий Коши). Функция f имеет конечный предел в точке тогда и только тогда, когда

.

Особую роль играют два замечательных предела:

Если , то

.