Основные теоремы дифференциального исчисления функций одной переменной

Теорема (Ролля). Пусть функция f:

1) непрерывна на отрезке ;

2) имеет в каждой точке интервала конечную или определённого знака бесконечную производную;

3) принимает равные значения на концах отрезка, т. е. .

Тогда существует хотя бы одна такая точка что .

Теорема (Лагранжа). Если функция f непрерывна на отрезке и в каждой точке интервала имеет конечную или определённого знака бесконечную производную, то в этом интервале существует, по крайней мере, одна такая точка , что

.

Теорема (Коши). Пусть функции f и g:

1) непрерывны на отрезке ;

2) имеют производные в каждой точке интервала ;

3) во всех точках интервала .

Тогда существует такая точка , что

.

Правило Лопиталя (для раскрытия неопределённостей вида и ). .