Окрестности

Дополним множество действительных чисел R элементами, обозначаемыми через и и называемыми соответственно плюс и минус бесконечностями, считая при этом, что по определению,

,

,

,

.

Но операции или уже не определены. Для любого по определению полагается выполненным неравенство

и справедливость следующих операций:

;

для a>0 ;

для a<0 .

Множество действительных чисел R, дополненное элементами , называется расширенным множеством действительных чисел (или расширенной числовой прямой) и обозначается через .

Если , то множество называется отрезком и обозначается через , т.е. .

Если , то множество называется интервалом и обозначается через , т.е. .

Множества

называются полуинтервалами.

В случае , т.е. когда является действительным числом, -окрестностью , , числа называется интервал : .

Если же , то

а если , то .

Пополним множество действительных чисел не двумя, а одной бесконечностью (без знака) . Её -окрестность состоит из двух бесконечных интервалов и самого элемента .